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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

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4.15. Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
f) lim⁡x→0x⋅(e1x−1)\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)

Respuesta

Queremos resolver este límite: lim⁡x→0x⋅(e1x−1)\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)

Para poder analizar bien la situación, necesariamente tenemos que arrancar abriendo el límite cuando xx tiende a 00 por derecha y por izquierda. 

1) Cuando xx tiende 00 por izquierda

lim⁡x→0−x⋅(e1x−1)=0\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) = 0 

(Acordate que e−∞=0e^{-\infty} = 0, así que te queda algo que tiende a 00 por lo del paréntesis que tiende a −1-1)

2) Cuando xx tiende 00 por derecha

lim⁡x→0+x⋅(e1x−1)\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)  

En este caso, recordando que e+∞=+∞e^{+\infty} = +\infty, estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito". Igual que te mostré en el item anterior, reescribimos para poder aplicar L'Hopital:

lim⁡x→0+x⋅(e1x−1)=lim⁡x→0+e1x−11x\lim _{x \rightarrow 0^+} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) = \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}

Así como la reescribimos, tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
lim⁡x→0+−1x2e1x−1x2=lim⁡x→0+e1x=+∞\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim _{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty

Cuando tomamos el límite por derecha nos dio +∞+\infty y por izquierda nos dio 00, por lo tanto... 

lim⁡x→0x⋅(e1x−1)=No existe\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) = \text{No existe}
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